nikuNIKUの奮闘記

とある学生が数学科の院進を夢見るブログ

ザリスキー位相

本当にざっくりと教科書が手元にあるとしたうえでのザリスキー位相の説明をする

 

自分が分かりやすい(かつ書くのがめんどくさくない範囲で)ように書くので厳密さはない!

 

ちなみに数式や記号はブログでの使い方が分からないので無いです

 

ザリスキー位相が位相であることの証明

 

まず必要な定義から

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集合族…集合を要素とするような集合

 

部分集合族…適当な集合の部分集合を要素とするような集合

 

位相…集合のある部分集合族が以下の3つを満たす

1 空集合と元の集合自身が部分集合族に属する

2 部分集合族の要素はその交わりも部分集合族に属する

3 部分集合族に属す集合で適当に取ってきたものの和集合も部分集合族に属する

(以下証明時に条件1,2,3と用いる)

 

 

代数的集合…多項式環の部分集合で、代入するとその部分集合の中に入るものが全部0になるようなものの集合

 

ザリスキー位相…代数的集合の補集合を開集合としてとったもの

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ガバガバ過ぎて身バレしたら迫害されそう……

 

他の人が見ても直感的な理解とかふわっとした理解すら出来そうにないけど、これは自分の為であって、この文章を再び見た時にこの時の自分が何を思って書いたのか思い出せるからいいんで……

 

ちなみに位相とか集合族とかの定義を書いたのは、一応位相についてのことを話すんで、その2ステップ前(自分基準)ぐらいは書いた方がいいかなと

 

ここで以下の事実を用います(ハーツホーンP2)

 

Fact 代数的集合の和集合、任意の族の交わり、全空間、空集合は代数的集合である

 

これぐらいで準備はいいかな

 

では証明に移ります

 

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まず、空集合と全空間は代数的集合であって、それぞれの補集合は

空集合→全空間、全空間→空集合

となるので条件1は満たす

 

代数的集合の和集合は代数的集合なので、その補集合を取ってみると、代数的集合どうしの補集合(開集合どうし)の交わりもまた開集合に属すことがわかるので条件2も満たす

 

代数的集合の任意の族の交わりは代数的集合なので、つまり補集合を考えると

代数的集合の任意の族の交わり→任意の族の、補集合(開集合)の和集合もまた開集合といっているので条件3も満たす

 

よってザリスキー「位相」!!!//

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 色々突っ込みたいことが多すぎるけどこれぐらい書いておけば自分で再現できるかな

 

というかこれはさっきのFactさえ要らないぐらいの自明なことなのでわざわざ書く必要なんてあるのか……?

 

まあこんなこと言っている僕だけど、実はちゃんと確かめないとよく分からず、紙に書いて確かめてからようやく「これ確かに定義から明らかやんけ」って気が付くぐらいなので、これを見て同じ気持ちを持ってくれる人が存在することを願います……