nikuNIKUの奮闘記

とある学生が数学科のD進を夢見るブログ

素イデアル分解を求めるプログラム PARI/GP

昨日から、a~bまでの素数をまとめて素イデアル分解したいって思いながら慣れないPARI/GPを使ってプログラムを作ってたら今朝ようやく上手くいったので備忘録的に書いておきます。

 

頭が回っていないです

 

ではまず体を決めるところから

 

K=nfinit(x^3-3)

 

↑これは体を決めるところですが、KというのをQの拡大体として定義するようです

で、どんな拡大体なのかというと、上の文だとKは多項式x^3-3の最小分解体とするってことです。

 

つまり望む体にするにはその単拡大となるような元を見つけ、その最小多項式を書けばいいわけです

(例:Q(√3)⇒K=nfinit(x^2-3)など)

 

イデアル分解をするための関数が

idealprimedec(K,a)

となっていて、aに好きな素数を入れるとその素数を素イデアル分解してくれます

 

で、問題のプログラムですがこちら↓

forprime(p=a,b,{
s=idealprimedec(K,p);
printf("%s\n",s);
})

 

このa,bに好きな数字を入れることでaからbまでの素数を分解してくれます

 

なので、僕のような初心者の方のためにどのように書けばいいかをわかりやすく書くと

 

K=nfinit(x^3-3) ←体(整数環)を決める

 

forprime(p=a,b,{
s=idealprimedec(K,p);
printf("%s\n",s);
})

 

と打てばいいわけです

 

c言語のつもりで書いていると全然実行できないことが多々あったので手探りの状況でした……

 

ちなみに2/3を後輩に教えてもらいました

 

いやもうほんと眠いけど1時間後に講義が始まるので辛いです

ザリスキー位相

本当にざっくりと教科書が手元にあるとしたうえでのザリスキー位相の説明をする

 

自分が分かりやすい(かつ書くのがめんどくさくない範囲で)ように書くので厳密さはない!

 

ちなみに数式や記号はブログでの使い方が分からないので無いです

 

ザリスキー位相が位相であることの証明

 

まず必要な定義から

------

集合族…集合を要素とするような集合

 

部分集合族…適当な集合の部分集合を要素とするような集合

 

位相…集合のある部分集合族が以下の3つを満たす

1 空集合と元の集合自身が部分集合族に属する

2 部分集合族の要素はその交わりも部分集合族に属する

3 部分集合族に属す集合で適当に取ってきたものの和集合も部分集合族に属する

(以下証明時に条件1,2,3と用いる)

 

 

代数的集合…多項式環の部分集合で、代入するとその部分集合の中に入るものが全部0になるようなものの集合

 

ザリスキー位相…代数的集合の補集合を開集合としてとったもの

------

 

ガバガバ過ぎて身バレしたら迫害されそう……

 

他の人が見ても直感的な理解とかふわっとした理解すら出来そうにないけど、これは自分の為であって、この文章を再び見た時にこの時の自分が何を思って書いたのか思い出せるからいいんで……

 

ちなみに位相とか集合族とかの定義を書いたのは、一応位相についてのことを話すんで、その2ステップ前(自分基準)ぐらいは書いた方がいいかなと

 

ここで以下の事実を用います(ハーツホーンP2)

 

Fact 代数的集合の和集合、任意の族の交わり、全空間、空集合は代数的集合である

 

これぐらいで準備はいいかな

 

では証明に移ります

 

------

まず、空集合と全空間は代数的集合であって、それぞれの補集合は

空集合→全空間、全空間→空集合

となるので条件1は満たす

 

代数的集合の和集合は代数的集合なので、その補集合を取ってみると、代数的集合どうしの補集合(開集合どうし)の交わりもまた開集合に属すことがわかるので条件2も満たす

 

代数的集合の任意の族の交わりは代数的集合なので、つまり補集合を考えると

代数的集合の任意の族の交わり→任意の族の、補集合(開集合)の和集合もまた開集合といっているので条件3も満たす

 

よってザリスキー「位相」!!!//

------

 

 色々突っ込みたいことが多すぎるけどこれぐらい書いておけば自分で再現できるかな

 

というかこれはさっきのFactさえ要らないぐらいの自明なことなのでわざわざ書く必要なんてあるのか……?

 

まあこんなこと言っている僕だけど、実はちゃんと確かめないとよく分からず、紙に書いて確かめてからようやく「これ確かに定義から明らかやんけ」って気が付くぐらいなので、これを見て同じ気持ちを持ってくれる人が存在することを願います……

行間埋め

数学書を読んでて行間を埋めた紙をどこかに置いてしまって無くしてしまうことが多々あるから、この場でたまに書くことにしました

 

自明って書いてあることもやる気があれば出来るだけ書きます

 

タグに数学書の名前か著者だけ書けば大体伝わると思うし、ここ間違ってるよみたいなのがあれば伝えてくれると嬉しいです

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

これだけ

成績開示

後期の成績が今日0時に発表されました

 

大体予想通りの結果になってたけども、数学英語が90点超えてたのは思いもしなかった

 

積極的に質問をしたことが良かったのかな?

 

 

専門科目で一つ落としてしまった科目があったけど、前日腰の痛みが酷過ぎて勉強できなかったから仕方ないよね!

 

腰の痛みと言えば、周りの人と相談したら運動不足じゃないか?と言われたので筋トレ始めました(再開しました)

 

成績の方に話を戻すけど、今年なんだかんだ頑張ったおかげで来年はゼミの単位だけで卒業できるようになってた

 

教職科目は取らなくちゃいけないけどついに自分のやりたい分野に没頭する時間が出来たのがうれしい

 

ぱっと見た感じ来年度取らなきゃいけない科目、取りたい科目が合わせて7つと教育実習+事前指導で、普通の大学4年生から見ると忙しい部類に入るとは思うけど今年度と比較して授業数が1/3以下だから全休の日が何日になるのか今から楽しみ

 

これからも色々頑張っていきますので

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

そういえば前回やりたい専門の話をするって言ってたけどあれはやめました

 

院でその勉強が出来ることが確定したらまとめてみようかなと思います

群論入門

実は最近群論の勉強してました

 

前に松坂でやってるって言ってたけど、もっと読みやすい本を見つけたからそれをずっと読んでた

 

それがタイトルに書いてある群論入門(雪江)

 

証明を丁寧に書いてくれていてありがたいが演習問題に少し間違いがあるように感じる

 

かなり読みやすく例も豊富にあるからイメージしやすく、個人的に群論の勉強をやるならこの本で決まり!って思ったぐらい良い

 

もうほとんど読み終わっていて残りは演習問題を少しだけって感じ

 

これから群と加群を読むかこの続きの本を読むか悩んでいるけど、最終的にどっちも読むことになるだろうからどっちでもいいんだけどね

 

ってな感じです

 

次回は自分用のメモとして、やりたい分野に行くために必要な前提知識、本をまとめようかと思ってます

あけましておめでとうございます

あけましておめでとうございます

 

初めて実家以外で正月を迎えました

 

1月1日はずっと勉強をしてたおかげで一回も家から出ず一回も外を眺めず誰とも会わず誰ともしゃべらないまま終わってしまった

 

今日は初売りに行ってきたけど、目ぼしい物が無いうえにやりかけの勉強が気になって頭から離れず途中で帰ってきてしまった

 

最近ずっと数学ばかりしてるから熱が冷めないうちにもっとやっておこうと思う

 

 

 

特に書くこともなく思いつくままに書いてるからよく分からなくなってきた……

 

そういえば今年の抱負だけど、院試に合格する、自主的な勉強を頑張る、の二つで行こうかと

 

他にもっといろいろ考えていた気がするけど思い出せるのがこの二つしかないからとりあえず頑張ります

最近勉強していること

最近、講義のレポートやテスト勉強をしてて、本当に基礎が足りないなーと感じることが多くなってきた

 

特に集合論代数学の講義で強く感じるからずっとそればかり勉強してる

 

授業で使われてる教科書じゃなくて集合、代数ともに松坂を使って勉強してるけどやっぱり難しい……

 

ある定義が出てきたとしてもイメージが出来なかったり定理を理解したつもりになったとしても例を作ることが出来ないから全然理解できてない……

 

だけども自分で勉強してて分からなかったところを授業でよく聞いてると、不思議とすごく理解できるから初めて予習が大事って言ってる人達の気持ちが分かった

 

何を言いたいのか全然まとまってないけどある程度すっきりしたので数学してきます